BAB II
Persamaan Diferensial TINGKAT SATU DAN BERPANGKAT SATU

I.	Pendahuluan
I.1. Diskripsi
Bab kedua ini membahas persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu , mulai dari bentuk umumnya, persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu dengan perubah-perubah terpisah maupun yang mudah dipisahkan, persamaan homogen dan tidak homogen, serta persamaan ekssak dan tidak eksak, disertai contoh-contoh penyelesainnya. Sebagai penutup dari bab ini, diberikan soal-soal latihan untuk lebih meningkatkan pemahaman mahasiswa. 

I.2. Manfaat/ Relevansi
Hasil dari pemodelan matematis dari persoalan Teknik Kimia yang berbentuk persamaan diferensial tingkat dan berpangkat satu banyak sekali dijumpai. Mengingat akan kesukaran-kesukaran yang dialami oleh mahasiswa-mahasiswa dalam menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, maka dengan mempelajari metode penyelesaian dari berbagai bentuk persamaan diferensial tingkat dan berpangkat satu yang ada dalam bab II ini, akan membantu mahasiswa dalam dalam mengatasi kesukaran-kesukaran tersebut.

 I.3. Tujuan Instruksional Khusus (TIK) 
Setelah membaca dan mempelajari Bab II ini, Mahasiswa  mampu menyelesaikan Persamaan Diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu).

1.4. Petunjuk Mempelajari
a.	Baca dan pahami semua yang ada dalam bab ini dengan hati-hati, teliti dan tidak perlu tergesa-gesa, ambillah waktu secukupnya.
b.	Tingkatkan pemahaman dengan menambah bahan bacaan lain yang relevan.
c.	Diskusi dengan teman untuk meningkatkan pemahaman.
d.	Berlatih dengan tekun untuk meningkatkan pemahaman.
e.	Jika ada kesulitan, bertanya  dengan dosen atau narasumber lain yang relevan.
II.	Penyajian
II.1. Persamaan Diferensial (PD) Tingkat Satu dan Berpangkat Satu
Suatu Persamaan Diferensial (PD) tingkat satu dan berpangkat satu, bentuk umumnya adalah : F(x, y, ) = 0
Contoh :
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Jawab :

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Jawab :

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut dilakukan dengan menggunakan metode pecahan parsial yaitu :

Maka : 
Aa –Ax + ba +Bx = 1
Sehingga : 
Untuk koefisien x0  (A+B)a =1
Untuk koefisien x1 B – A    = 0
Maka akan didapat :  A = 1/2a dan B = 1/2a
Maka penyelesaian integralnya adalah : 
 =  = 

Pada persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu ini, adakalanya perubah-perubah terpisah dan adakalanya masih tercampur.
Contoh :
a.	(x+y)dy + (3x-x2)dx = 0
b.	x dx + ydy = 0
c.	(1+xy)y dx + (1-xy)x dy = 0
Persamaan diferensial linier tingkat satu dan berpangkat satu dapat juga berbentuk persamaan diferensial homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak.
Maka untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial ini, dilakukan cara yang berlainan (terperinci).

II.2. Persamaan Diferensial Tingkat Satu dan Berpangkat Satu dengan Perubah-perubah Terpisah
Bentuk umum persamaan diferensial dengan perubah-perubah yang terpisah dapat ditulis sebagai berikut :
  ......................................................................................(1)
Penyelesainnya :   .....................................................(2)
Dimana C adalah merupakan suatu konstanta
Contoh  Soal : 
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : x dx + y dy = 0
Penyelesaian : 

 
Jika  2C1 = C

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :  
dengan persyaratan : jika x = -2  maka nilai y = 1
Penyelesaian :

y.(x-3) = C

Jika nilai x = -2   y = 1, maka : 
1(-2-3) = C
C = -5
Maka diperoleh penyelesaian :

II.3. Persamaan Diferensial Tingkat Satu dan Berpangkat Satu dengan Perubah-perubah yang  Mudah Dipisahkan
Bentuk umum persamaan diferensial dengan perubah-perubah yang dipisahkan dapat ditulis sebagai berikut :
  ......................................................................(3)
dimana : M(x) dan N(x) = fungsi x
               R(y) dan S(y)  = fungsi y
Untuk menyelesaikan Persamaan (3) tersebut, dibagi dengan N(x).R(y), hasilnya adalah : 
              .........................................................................(4)
Penyelesaian dari persamaan (4) tersebut adalah :

Contoh Soal : 
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini  dengan syarat x = 2  y = 3
Penyelesaian :

Misal : 1 + y2 = U    2y dy = dU
Sehingga didapat :
xdU – U dx = 0

lnU – lnx = lnC
U = x.C
1 + y2 = x.C
Jika x = 2  y = 3, maka
1 + 9 = 2C  C = 5
Jadi didapat hasil sebagai berikut :
1 + y2 = 5x
atau : y2 = 5x – 1

2.	Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut ini : 
x2 y dx + (x+1) dy = 0
Penyelesaian :
x2 y dx + (x+1) dy = 0
Persamaan tersebut dibagi dengan : y.(x+1), maka akan diperoleh :

3. Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut ini : 

Penyelesaian :
dy + (y-1)cosx dx  = 0

ln(y-1) + sinx = C
ln(y-1) = C – sinx
y – 1 = e(C-sinx)
y = 1+ e(C-sinx)

4. Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut : xydx + (1+x2)dy = 0
Penyelesaian :
xydx + (1+x2)dy = 0

(1+x2) y2 = C

5. Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut : (1+2y)dx – (4-x)dy = 0
Penyelesaian :
(1+2y)dx – (4-x)dy = 0

(4-x)2.(1+2y) = C

6. Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut : (x-y2)dx + 2xydy = 0
Penyelesaian :
(x-y2)dx + 2xydy = 0

Misal : y2 = U    2ydy = dU.  Maka :

(x – U) dx + x dU = 0
xdx –Udx + x dU = 0

   

7. Tentukan penyelesaian  persamaan diferensial berikut : 4xdy - ydx = x2dy 
Penyelesaian :
4xdy - ydx = x2dy
(4x – x2) dy - ydx = 0

Untuk mencari penyelesaian digunakan metode pecahan parsial yaitu :

Sehingga : 
A(x – 4) + Bx = 1
Koefisien dari x0 : - 4 A = 1
Koefisien dari x1 : A + B = 0     A = -B
- 4 A = 1    - 4 (-B) = 1       B = ¼
                                                    A =  -¼
Maka :

lny + ¼ (- lnx + ln(x-4)) = lnC1
4lny – lnx + ln(x-4) = 4lnC1

y4 (x – 4) =  C x

II.4. Persamaan Homogen
Suatu fungsi f(x,y) disebut homogen berpangkat – n, jika memenuhi bentuk berikut : 

Contoh :
a.	f(x, y) = x4 – x3 y 
 = 
jadi : f(x, y) = x4 – x3 y  adalah homogen berpangkat 4
b.	f(x, y) = ex/y + 
 = ex/y + 
jadi : f(x, y) = ex/y +   adalah homogen berpangkat 0
c.	f(x, y) = x2 + sinx cosy

      jadi : f(x, y) = x2 + sinx cosy   adalah tidak homogen

Persamaan diferensial :  M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0 disebut homogen, jika    M(x, y)  dan N(x, y) merupakan fungsi yang homogen dan berpangkat sama. Atau suatu persamaan diferensial disebut homogen jika bentuknya dapat dirubah menjadi :
M(x/y) dx + N(x/y)dy = 0  atau  M(y/x) dx + N(y/x)dy = 0  
Misalkan persamaan diferensial sudah dirubah menjadi bentuk : 
     M(y/x) dx + N(y/x)dy = 0  
Maka untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut diambil substitusi :
y = Ux    dy = Udx + x dU
Sehingga didapat :
M(y/x) dx + N(y/x)dy = 0  
M(U) dx + N(U)(Udx + x dU) = 0  
[M(U) + U.N(U)] dx + x N(U) dU = 0  

Jadi penyelesaiannya adalah :

dimana : U = y/x

Contoh soal :
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : (x2 – xy + y2)dx  - xy dy = 0
Penyelesaian :
(x2 – xy + y2)dx  - xy dy = 0
Persamaan tersebut dibagi dengan : x2, hasilnya adalah :

Misal : U = y/x   y = Ux    dy = Udx + x dU.  Maka :
 [1 – U + U2] dx  – U [Udx + x dU] = 0
dx – Udx + U2 dx – U2 dx – Ux dU = 0
dx – Udx – Ux dU = 0
[1 – U] dx  – Ux dU = 0

lnx + U + ln(U-1) = lnC

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Jawab :

Misal : y = Ux    dy = Udx + x dU; maka :

C2x2 – 4Cy – 1 = 0
4Cy + 1 – C2x2 = 0

3.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Penyelesaian :

Misal : y = Ux    dy = Udx + x dU. Maka :

Jika :
Maka : AU + 3A + BU = 1 + 2U
Dari koefisien U0   3A = 1    A = 1/3
Dari koefisien U1   A + B = 2  1/3 + B = 2     B = 5/3
Sehingga persamaan diferensial tersebut di atas akan menjadi :

lnx + (1/3) lnU + (5/3) ln(U+3) = lnC1
3lnx + lnU + 5 ln(U+3) = 3lnC1

4.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Penyelesaian :

Persamaan tersebut dibagi dengan x, maka didapat :

Misal : U = y/x   y = Ux    dy = Udx + x dU.   Maka : 
 [2 U – 3] dx  + [Udx + x dU] = 0

3lnx + ln(U-1) = lnC

x2 (y – x) = C

II.5. Persamaan Tidak Homogen
a.	Persamaan yang Berbentuk : (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0
Dalam persamaan ini a, b, c, p, q, r adalah konstanta atau tetapan. Kemungkinan yang dapat terjadi :
i.	Jika :   atau : 
Diambil substitusi : 
ax + by + c = U    dU = adx + bdy       dikalikan dengan q
px + qy + r = V    dV = pdx + qdy       dikalikan dengan b
Maka diperoleh : 

Sehingga : 

	    = 
       = 

sehingga persamaan : (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0, akan menjadi :

U.q. dU – b.U. dV + V.a. dV – V.p.dU = 0
(U.q – p.V) dU + (V.a – b.U) dV = 0   persamaan tersebut merupakan persamaan homogen sehingga untuk menyelesaikannya dapat menggunakan cara dalam sub pokok bahasan  II.3. 

ii.	Jika :   atau : 
Misal :     sehingga : a = pm  dan    b = qm
Maka persamaan : (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0, akan menjadi :
(pmx + qmy + c) dx + (px + qy + r) dy = 0
[m(px + qy) + c] dx + [px + qy + r] dy = 0
Misal : px + qy = U    px = U – qy    pdx = dU – q dy 
                                                                     dx = (dU – q dy)/p
sehingga persamaan diferensial tersebut akan menjadi :
[mU + c] dx + [U + r] dy = 0
[mU + c] [(dU – q dy)/p ] + [U + r] dy = 0
[mU + c] [dU – q dy ] + [pU + pr] dy = 0
[mU + c] dU  + [pU + pr – qmU – cq] dy = 0
[mU + c] dU  + [(p – qm)U + pr – cq] dy = 0  persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan perubah yang mudah dipisahkan, untuk menyelesaikannya dapat menggunakan cara dalam sub pokok bahasan  II.2. 

iii.	Jika :   sehingga : a = pm;    b = qm    dan   c = rm
Maka persamaan : (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0, akan menjadi :
m(px + qy + r)dx + (px + qy + r)dy = 0
mdx + dy = 0
sehingga penyelesaiannya adalah : 
m x + y = C

Contoh Soal : 
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :
(x + 2y – 4) dx – (2x + y – 5)dy = 0
Penyelesaian :
x + 2y – 4 = U     dU = dx + 2 dy     dikalikan dengan 1
2x + y – 5 = V     dV = 2dx + dy      dikalikan dengan 2
Maka diperoleh : 

Sehingga : 

Sehingga persamaan : (x + 2y – 4) dx – (2x + y – 5)dy = 0 akan menjadi :

UdU – 2U dV – V dV + 2V dU = 0
(U + 2V) dU – (2U + V) dV = 0   persamaan homogen
sehingga persamaan tersebut akan menjadi :

Misal : 

Misal : 

Az – A + Bz + B = z + 2
Koefisien dari z0 :  - A +  B = 2
Koefisien dari z1 :    A +  B = 1
2B = 3    B = 3/2 
A = 1 – B = 1 – (3/2) = -1/2 
Sehingga :, akan menjadi :

lnU – (1/2) ln(z+1) + (3/2) ln(z-1) = lnC

atau :

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :
(2x - 5y + 3) dx – (2x + 4y – 6)dy = 0
Penyelesaian :
2x  - 5 y + 3= U     dU = 2dx – 5 dy     dikalikan dengan 4
2x + 4y – 6= V     dV = 2dx + 4dy      dikalikan dengan 5
Maka diperoleh : 

Sehingga : 

Sehingga persamaan : (2x - 5y + 3)dx – (2x + 4y – 6)dy = 0  akan  menjadi :

4UdU + 5U dV – 2V dV + 2V dU = 0
(4U + 2V) dU + (5U – 2 V) dV = 0   persamaan homogen
sehingga persamaan tersebut akan menjadi :

Misal : 

Misal : 

Az – 4A + 2Bz + B = 2z – 5 
Koefisien dari z0 :  - 4 A +  B = -5 
Koefisien dari z1 :    A +  2B = 2

9B = 3      B = 1/3
dari persamaan : - 4 A +  B = -5    4A = B + 5 = (1/3) + 5 = 16/3 
                                                             A = 4/3
Sehingga : , akan menjadi :

lnU + (4/6) ln(2z+1) + (1/3) ln(z-4) = lnC1
lnU + (2/3) ln(2z+1) + (1/3) ln(z-4) = lnC1
3lnU + (2) ln(2z+1) + ln(z-4) = 3lnC1

3.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :
(x+y) dx + (3x + 3y – 4)dy = 0
Penyelesaian :
Misal : x + y = z      x = z – y    dx = dz – dy 
(x+y) dx + (3x + 3y – 4)dy = 0
Sehingga :
z (dz – dy) + (3z – 4)dy = 0
zdz – zdy + 3zdy – 4dy = 0
zdz + 2 (z – 2)dy = 0

z + 2 ln(z - 2) + 2y = C
x + y + 2 ln(x + y - 2) + 2y = C
 x + 3y + 2 ln(x + y - 2) = C

4.	Selesaikan persamaan diferensial berikut : 
(3x+2y+1)dx – (3x + 2y – 1)dy  = 0
Penyelesaian : 
Misal : 3x + 2y = z    3 dx = dz – 2dy    dx = (dz – 2dy)/3
(3x+2y+1)dx – (3x + 2y – 1)dy  = 0
(z + 1) [(dz – 2dy)/3] – (z – 1)dy = 0
(z + 1) dz  – 2(z + 1)dy – (3z – 3)dy = 0
(z + 1)dz  –  (5z – 1)dy = 0

Misal : 5z – 1 = U      z = (U – 1)/5    dz = dU/5

25 dy – dU – (6 /U) dU = 0
25 y – U – 6 lnU = C1 
25 y – (5z – 1)  – 6 ln(5z – 1)   = C1 
25 y – (5(3x + 2y) – 1)  – 6 ln(5(3x + 2y) – 1)   = C1 
25 y – 15x – 10y + 1  – 6 ln(15x + 10y – 1)   = C1 
15 y – 15x – 6 ln(15x + 10y – 1)   = C1 – 1
– 15 (x – y ) – 6 ln(15x + 10y – 1)   = C1 – 1
15 (x – y ) + 6 ln(15x + 10y – 1)   = 1– C1  
(15/6) (x – y ) + ln(15x + 10y – 1)   = (1– C1)/6  
(5/2) (x – y ) + ln(15x + 10y – 1)   = C  

5.	Selesaikan persamaan diferensial berikut : 
(5x – 5y + 5)dx + (x –y + 1)dy  = 0
Penyelesaian : 
5 (x – y + 1)dx + (x – y + 1)dy  = 0
5dx + dy = 0
5x + y = C

b.	Persamaan Berbentuk : y.f(xy)dx + x. g(xy) dy = 0
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut diambil substitusi : 

Sehingga didapat : 
P(y, z)dx + Q(x, z)dy = 0    perubahnya dapat dipisahkan

Contoh Soal :
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut : 
y(xy + 1) dx + x(1 + xy + x2 y2)dy = 0
Penyelesaian :

y(xy + 1) dx + x(1 + xy + x2 y2)dy = 0
sehingga :

z(z+1) dx + (1 + z + z2) (xdz – zdx) = 0
(z2 + z – z – z2 – z3)dx + x(1 + z + z2) dz = 0

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut : 
(1 – xy + x2y2)dx + x2(xy – 1) dy = 0
Penyelesaian :

(1 – z + z2 – z2 + z) dx + x(z – 1) dz = 0

lnx  + (1/2) z2 – z  = C
lnx =  C – (1/2) z2 + z  
lnx =  C – (1/2) (xy)2 + xy  

II.6. Persamaan Eksak
Persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) yang berbentuk :  M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, disebut eksak, jika dipenuhi syarat :

Contoh :
a. Selidiki persamaan berikut : (2xy + lnx)dx + x2 dy = 0
Jawab :
M(x,y) = 2xy + lnx   
N(x,y) = x2                
Maka : (2xy + lnx)dx + x2 dy = 0 adalah persamaan eksak

b. Selidiki persamaan berikut : (x – y )dx + (x + y)dy = 0
Jawab :
M(x,y) = x – y               
N(x,y) = x + y                
Maka : (x – y )dx + (x + y)dy = 0 adalah persamaan tidak eksak

Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial eksak, digunakan persamaan berikut :
F(x, y) = C             (C = konstanta)
Diferensial total dari F(x, y) adalah :

Maka didapat bentuk :
(i). 
(ii). 
Maka untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial : 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 yang merupakan persamaan eksak,  dapat ditentukan dari persamaan (i) atau (ii) :
a. Menentukan penyelesaian dengan persamaan (i). 

g(y) adalah konstanta yang harus dicari.
Jika persamaan :  diturunkan ke y, maka didapat :

, maka :

Sehingga g(y) dapat dicari.

b. Menentukan penyelesaian dengan persamaan (ii). 

f(x) adalah konstanta yang harus dicari.
Jika persamaan :  diturunkan ke x, maka didapat :

, maka :

Sehingga f(x) dapat dicari.

Contoh Soal : 
1.	 Buktikan bahwa persamaan diferensial :  (x+y) dx + (x-y) dy = 0, adalah eksak dan selesaikan.
Pembuktian :
M(x,y) = x + y               
N(x,y) = x – y                
Maka : (x + y )dx + (x – y)dy = 0 adalah persamaan eksak
Penyelesaian :
•	Menentukan penyelesaian dengan persamaan 

Jadi diperoleh penyelesaian :
 
•	Atau dapat juga menentukan penyelesaian dengan menggunakan persamaan 

Jadi diperoleh penyelesaian :

2.	Buktikan bahwa persamaan diferensial :  (x + y cosx)dx + sinx dy = 0, adalah eksak dan selesaikan.
Pembuktian :
M(x,y) = (x + y cosx)    
N(x,y) = sinx                  
Maka : (x + y cosx)dx + sinx dy = 0adalah persamaan eksak
Penyelesaian :
Menentukan penyelesaian dengan persamaan 

Jadi diperoleh penyelesaian :
 
Atau :  

3.	Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut :  
(2x+ 3y+ 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0, adalah eksak dan selesaikan.
Pembuktian :
M(x,y) =  2x+ 3y+ 4       
N(x,y) =  3x + 4y + 5      
Maka : (2x+ 3y+ 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0 adalah persamaan eksak
Penyelesaian :
Menentukan penyelesaian dengan menggunakan persamaan 

Jadi diperoleh penyelesaian :

II.7. Faktor Integral
Bila persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) yang berbentuk :  
 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0          ............................................... (1)       adalah tidak eksak, maka akan dicari suatu fungsi yang dapat mengubah persamaan diferensial (1) tersebut  menjadi persamaan diferensial eksak. Fungsi yang akan dicari tersebut dinamakan faktor integral.
Menentukan Faktor Integral
Andaikan U(x, y) merupakan faktor dari persamaan (1) tersebut, maka :
U(x,y). M(x,y) dx + U(x,y). N(x,y) dy = 0       .........................................   (2)
adalah merupakan persamaan diferensial eksak.
Karena persamaan (2) adalah eksak, maka :

                                     ................................(3)
Persamaan (3) adalah rumus umum Faktor Integral.
Kemungkinan yang terjadi pada Faktor Integral :
a.	Faktor integral U merupakan fungsi dari x saja.
Maka : 
  dan  
Sehingga persamaan (3) dapat ditulis :

Jadi faktor integral : 
Dimana :       adalah fungsi x
Contoh Soal :
1.	Selesaikan persamaan berikut : (4xy + 3y2 – x)dx + x(x + 2y) dy = 0
Penyelesaian :
M(x, y) = 4xy + 3y2 – x      
N(x, y) = x(x + 2y)             
Maka : (4xy + 3y2 – x)dx + x(x + 2y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak.

   adalah fungsi x
Sehingga bentuk faktor integralnya (U) adalah :

       U = x2
Sehingga persamaan : (4xy + 3y2 – x)dx + x(x + 2y) dy = 0 akan menjadi :
x2(4xy + 3y2 – x)dx + x3(x + 2y) dy = 0
didapat : 

Maka didapat hasil sebagai berikut :

Atau : 

2.	Selesaikan persamaan berikut : 
(2xy + x2y + (1/3)y3)dx + (x2 + y2) dy = 0
Penyelesaian :
M(x, y) = 2xy + x2y + (1/3)y3      
N(x, y) = x2 + y2                                      
Maka : (2xy + x2y + (1/3)y3)dx + (x2 + y2) dy = 0, adalah persamaan tidak eksak.

Sehingga bentuk faktor integralnya (U) adalah :

Sehingga persamaan : (2xy + x2y + (1/3)y3)dx + (x2 + y2) dy = 0, akan menjadi :
ex(2xy + x2y + (1/3)y3)dx + ex(x2 + y2) dy = 0, didapat : 

Maka didapat hasil sebagai berikut :

Atau : 

b.	Faktor integral U merupakan fungsi dari y saja.
Maka : 
  dan  
Sehingga persamaan (3) dapat ditulis :

dimana :           adalah fungsi y

Contoh Soal :
1.	Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut ini : 
y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0
Penyelesaian :
M(x, y) = y(x + y + 1)      
N(x, y) =  x(x + 3y + 2)       

Sehingga persamaan diferensial eksaknya adalah :

atau :

2.	Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut ini : 
y(1 + x y) dx   -  x dy = 0
Penyelesaian :
M(x, y) = y(1 + x y)         
N(x, y) =  -  x                   

Sehingga persamaan diferensial eksaknya adalah :

= 

atau : 

c.	Faktor integral U merupakan fungsi x dan y. 
Misalkan : faktor integral U = U(x, y)  dan x,y = V, maka U = U(V), sehingga : 
   dan  
Sehingga persamaan (3) dapat ditulis :

dimana :       

Contoh Soal :
1.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :

Penyelesaian :

Jadi persamaan berikut : , adalah persamaan tidak eksak, sehingga langkah penyelesaiannya adalah :

Misal : V = xy           dan   

= 

Sehingga persamaan diferensial eksak yang diperoleh adalah :

Sehingga diperoleh penyelesaian : 

2.	Selesaikan persamaan diferensial berikut ini : 
Penyelesaian :

Jadi persamaan berikut : , adalah persamaan tidak eksak, sehingga langkah penyelesaiannya adalah :

Misal : V = xy           dan   

=  

Sehingga persamaan diferensial eksak yang diperoleh adalah :

g(y) =  -lny
Sehingga diperoleh penyelesaian :  lnx – lny = ln C;   atau : 

d.	Faktor Integral dari persamaan : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah homogen dan  x.M(x,y) +  y.N(x,y)  0

Jika persamaan : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah homogen serta persamaan  berikut : x.M(x,y) +  y.N(x,y)  0, maka faktor integralnya adalah : 
Contoh Soal :
1.	Selesaikan persmaan diferensial berikut : 
Penyelesaian :

Jadi persamaan berikut : , adalah persamaan diferensial homogen dan tidak eksak, juga :  x.M(x,y) +  y.N(x,y)  0, maka faktor integral persamaan tersebut adalah : . 
 = 
Maka :  akan menjadi :

 ; sehingga didapat penyelesaian :

Atau : 
2.	Selesaikan persmaan diferensial berikut : 
Penyelesaian :

Jadi persamaan berikut : , adalah persamaan diferensial homogen dan tidak eksak, juga :  x.M(x,y) +  y.N(x,y)  0, maka faktor integral persamaan tersebut adalah : . 
 = 
Maka :  akan menjadi :

Sehingga didapat penyelesaian :

Atau : 
e.	Faktor Integral dari persamaan : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat diubah menjadi : y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0

Jika persamaan : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, dapat diubah menjadi :    y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0, dan , maka faktor integralnya adalah : 

Contoh Soal :
1.	Selesaikan persmaan diferensial berikut :

Penyelesaian :
 adalah tidak eksak.
Faktor integral yang digunakan adalah :

Sehingga diperoleh persamaan diferensial eksak sebagai berikut :

2.	Selesaikan persmaan diferensial berikut :

Penyelesaian :
 adalah tidak eksak.
Faktor integral yang digunakan adalah :
 
Sehingga diperoleh persamaan diferensial eksak sebagai berikut :

Atau : 

III.	Penutup

III.1. Rangkuman 

Penyelesaian persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) :

1. Jika persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) dengan Perubah-perubah Terpisah : 
  
Maka penyelesainnya :   
Dimana C adalah merupakan suatu konstanta
2. Jika persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) dengan Perubah-perubah yang Mudah Dipisahkan :
  
Maka penyelesaiannya adalah :  

3.	Jika persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) yang berbentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, adalah persamaan homogen, maka penyelesaiannya dengan substitusi y = U.x 
4.	Untuk persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) yang merupakan persamaan tidak homogen dengan bentuk : 
a. (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0
penyelesaian persamaan ini tergantung nilai : a, b, c, p, q, dan r
b. Persamaan Berbentuk : y.f(xy)dx + x. g(xy) dy = 0
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut diambil substitusi : 

5.	Persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) disebut eksak jika dipenuhi bentuk : 

6.	Jika persamaan diferensial tingkat 1 (satu) dan berpangkat 1 (satu) adalah tidak eksak. Untuk penyelesainnya diubah menjadi persamaan eksak dengan menggunakan faktor integral. Bentuk umum faktor integral adalah :

III. 2. Test Mandiri

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut ini dengan metode pemisahan variabel :
1. 
2. (1+2y) dx – (4-x) dy = 0
3.	Suatu fluida panas dengan kecepatan v0  didinginkan dengan melewatkan ke dalam suatu pipa yang berjari-jari R dan temperatur dindingnya adalah adalah TW yang berharga tetap. Koeffisien perpindahan panas dari fluida ke dinding pipa adalah h. Luas perpindahan panasnya adalah A. Dari neraca panas pada keadaan steadi diperoleh persamaan yang menyatakan hubungan antara suhu fluida di dalam pipa (T) dengan posisi (z) adalah sebagai berikut :

Selesaikan persamaan differensial tersebut. 

4.	xy dy = (y+1)(1-x)dx
5.	y2dx – x2dy = 0
6.	(1+y) dx – (1+x) dy = 0
7.	x dy + 2ydx = 0 dengan syarat jika x = 2  y = 1
8.	(1+2y)dx + (4-x2)dy = 0
9.	
10.	
11.	x(1-x2) dy = (x2 – x + 1) dx
12.	x3 dx + (y+1)2 dy = 0
13.	x2(y+1) dx + y2(x-1) dy = 0
14.	
15.	(1 + x3) dy  - x2y dx = 0

Selesaikan Persamaan diferensial homogen atau tidak homogen berikut  ini :
16.	
17.	
18.	
19.	
20.	
21.	  
22.	 dengan persyaratan pada x = 1  y = 1
23.	
24.	
25.	
26.	
27.	(x – 5y + 5)dx + (5x – y + 1)dy  = 0
28.	(3y – 7x + 7)dx + (7y – 3x + 3)dy  = 0
29.	(3y – x)dy  =  (3x – y + 4)dx  
30.	y(1 + 2xy) dx + x (1 – xy) dy = 0
31.	(xy2 + y)dx + (x2y – x) dy = 0
32.	(y – xy2) dx – (x + x2y) dy = 0
33.	(x + y + 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0

Selesaikan Persamaan diferensial eksak atau tidak eksak berikut  ini :
34.	(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1) dy = 0
35.	(2x3 – xy2 – 2y + 3)dx – (x2y + 2x) dy = 0
36.	
37.	
38.	
39.	
40.	
41.	
42.	(2y + 3xy2) dx + (x + 2x2y) dy = 0
43.	(2y – 3x)dx + x dy = 0
44.	(x – y2) dx + 2xy dy = 0
45.	y dx – x dy + lnx dx = 0
46.	(2y – x3) dx + x dy = 0
47.	(3x2 + y2) dx – 2xy dy = 0
48.	x dy – y dx = x2 ex dx
49.	3x2 y2 dx + 4(x3y – 3)dy = 0
50.	y2 dy + y dx – x dy = 0
51.	(2x3 y2  + 4 x2y + 2xy2 + xy4 + 2y) dx + 2(y3 + x2 y + x) dy = 0
52.	(y + x3 y + 2x2) dx + (x + 4x y4 + 8 y3) dy = 0
53.	y(y2 – 2x2) dx + x(2y2 –x2) dy = 0
54.	(xy – 2y2) dx –  (x2 – 3xy) dy = 0
55.	y2 dx + (x2 – xy – y2)dy = 0
56.	 (3y3 – xy) dx – (x2 + 6xy2) dy = 0
57.	y(2 + 3xy) dx + x(1 + 2xy) dy = 0

IV.	Pustaka 
1.	Wardiman, 1981, “Persamaaan Differensial, Teori dan Contoh-contoh Penyelesaian Soal”,  Citra Offset, Yogyakarta
2.	Ayres, F.Jr, Ault, J.C., Lily Ratna, 1999, “Persamaan Differensial”, Erlangga, Jakarta.
3.	Stroud K.A., Erwin Sucipto, 1996, “Matematika untuk Teknik”, edisi 4, Erlangga, Jakarta.
4.	Kreyszic, E, 1993, “Matemetika Teknik Lanjutan”, Edisi 6, Erlangga, Jakarta